UNIDAD III
Medidas de tendencia central y variabilidad
3.1 Medidas de tendencia central:
Reciben este nombre debido a que al observar la distribución de los datos, estas tienden a estar localizadas generalmente en su parte central.
* Media: También se le conoce como promedio ya que es el promedio de las lecturas o mediciones individuales que se tienen en la muestra. Ejemplo:
Se ha tomado como muestra las medidas de seis cables usados en un arnés para lavadora, las cuales son; 15.2cm, 15.0, 15.1, 15.2, 15.1 y 15.0, determine su media aritmética:
15.2+15.0+15.1+15.2+15.1+15.0
X= ____________________________ = 15.1
6
*Mediana: La mediana es aquel valor que se encuentra en la parte central de los datos que se tienen en la muestra una vez que estos han sido ordenados según su valor o magnitud. Pracalcular la mediana se pueden presentar dos casos:
a) Que el numero de datos sea impar. Ejemplo:
Los siguientes datos son las mediciones obtenidas de un circuito utilizado en un arnés de lavadora; se toma como muestra siete circuitos y sus mediciones son: 11.3, 11.2, 11.5, 11.2, 11.2, 11.47, 11.5. Ordenandolos quedarían:
11.2, 11.2, 11.2, 11.3, 11.4, 11.5, 11.5 Se observa que el dato 11.3 queda en medio por lo que este es el valor de la mediana.
b) Que el número de datos sea par. Ejemplo:
Los siguientes datos son las mediciones obtenidas de un circuito utilizado en un arnés de lavadora; se toma como muestra ocho circuitos y sus mediciones son: 11.3, 11.2, 11.5, 11.2, 11.2, 11.4, 11.5, 11.4 Ordenándolos quedarían:
11.5, 11.4, 11.4, 11.3, 11.2, 11.2, 11.2, 11.1 cm Como son dos datos los que quedan en medio , se obtiene el promedio:
11.3+11.2
X med: ---------------- = 11.25cm
2
*Moda: Aquel valor o valores que más se repiten o que tienen mayor frecuencia entre los datos de la muestra.
3.1.1Datos no agrupados:
Cuando la muestra que se ha tomado de la población o proceso que se desea analizar, es decir, tenemos menos de 20 elementos en la muestra, entonces estos datos son analizados sin necesidad de formar clases con ellos y a esto es a lo que se le llama tratamiento de datos no agrupados.
3.1.2 Datos agrupados:
jueves, 7 de enero de 2010
Cuando una muestra consta de 30 o más datos, lo aconsejable es agrupar los datos en clases y a partir de estas determinar las características de la muestra y por consiguiente las de la población de donde fue tomada.
3.2 Medidas de variabilidad:
*Rango: También llamado recorrido: Es la diferencia entre el valor mayor y el valor menos encontrados en la muestra, también se le denomina recorrido ya que nos dice entre que valores hace su recorrido la variable de interés; y se determina de la siguiente manera:
R=VM-Vm
R= rango o recorrido
VM = valor mayor en la muestra
Vm = valor menos en la muestra Ejemplo:
Se ha tomado como muestras las mediciones de la resistencia a la tensión de la soldadura usada para unir dos cables, estas son: 78.5kg, 82.4,87.3, 78.0, 90.0, 86.5, 77.9, 92.4, 75.9.
VM = 92.4 kg
Vm =75.9 kg
R= 16.5 kg
* Varianza: Es el promedio de las diferencias elevadas al cuadrado entre cada valor que se tiene en la muestra y la media aritmética de los datos. Ejemplo:
Lo primero que hay que calcular es la media aritmética de la muestra como ya se ha hecho anteriormente.
X= 14.2+12.1+15.6+18.1+14.3 / 5 = 14.86
S2= (14.2-14.86)2 + (12.1-14.86)2+…+ (14.3-14.86)2 / 5-1 =
S2= 0.4356+7.6176+0.5476+10.4976+0.3136 / 4= 4.853mg2
*Desviación estándar: Es l desviación o diferencia promedio que existe entre cada dato de la muestra y la media aritmética de la muestra. Y se obtiene a partir de la varianza, sacándola raíz cuadrada
Ejemplo:
S= raíz 4.853mg2 = 2.2029mg
La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.
Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un número par, o que salga un número menor que 4.
3.2 Medidas de variabilidad:
*Rango: También llamado recorrido: Es la diferencia entre el valor mayor y el valor menos encontrados en la muestra, también se le denomina recorrido ya que nos dice entre que valores hace su recorrido la variable de interés; y se determina de la siguiente manera:
R=VM-Vm
R= rango o recorrido
VM = valor mayor en la muestra
Vm = valor menos en la muestra Ejemplo:
Se ha tomado como muestras las mediciones de la resistencia a la tensión de la soldadura usada para unir dos cables, estas son: 78.5kg, 82.4,87.3, 78.0, 90.0, 86.5, 77.9, 92.4, 75.9.
VM = 92.4 kg
Vm =75.9 kg
R= 16.5 kg
* Varianza: Es el promedio de las diferencias elevadas al cuadrado entre cada valor que se tiene en la muestra y la media aritmética de los datos. Ejemplo:
Lo primero que hay que calcular es la media aritmética de la muestra como ya se ha hecho anteriormente.
X= 14.2+12.1+15.6+18.1+14.3 / 5 = 14.86
S2= (14.2-14.86)2 + (12.1-14.86)2+…+ (14.3-14.86)2 / 5-1 =
S2= 0.4356+7.6176+0.5476+10.4976+0.3136 / 4= 4.853mg2
*Desviación estándar: Es l desviación o diferencia promedio que existe entre cada dato de la muestra y la media aritmética de la muestra. Y se obtiene a partir de la varianza, sacándola raíz cuadrada
Ejemplo:
S= raíz 4.853mg2 = 2.2029mg
La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.
Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un número par, o que salga un número menor que 4.
El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:
Ejemplos: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.
En la Lotería de Navidad, el "Gordo" (en España se llama "Gordo" al primer premio) puede ser cualquier número entre el 1 y el 100.000, pero no sabemos a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí escribiendo esta lección).
Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.
Ejemplo: en lugar de tirar la moneda al aire, directamente selccionamos la cara. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo.
Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleaotorio hay que definir una serie de conceptos:
Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.
Ejemplo: al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2, .., hasta el 6.
Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales.
Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un número par. El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6
O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los números que van del 1 al 18).
Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).
Ejemplo: si tiramos una moneda al aíre una sola vez, el espacio muestral será cara o cruz.
Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estaría formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).
Probabilidad: Relación entre sucesos
15°
Ejemplos: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.
En la Lotería de Navidad, el "Gordo" (en España se llama "Gordo" al primer premio) puede ser cualquier número entre el 1 y el 100.000, pero no sabemos a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí escribiendo esta lección).
Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.
Ejemplo: en lugar de tirar la moneda al aire, directamente selccionamos la cara. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo.
Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleaotorio hay que definir una serie de conceptos:
Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.
Ejemplo: al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2, .., hasta el 6.
Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales.
Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que salga un número par. El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6
O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los números que van del 1 al 18).
Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).
Ejemplo: si tiramos una moneda al aíre una sola vez, el espacio muestral será cara o cruz.
Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estaría formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).
Probabilidad: Relación entre sucesos
15°
Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:
a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b).
Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no el el a).
b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.
c) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6
d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par).
e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su interesección es el conjunto vacio).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.
f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).
LECCION 16ª
Cálculo de probabilidades
a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b).
Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no el el a).
b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.
c) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6
d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par).
e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su interesección es el conjunto vacio).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.
f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).
LECCION 16ª
Cálculo de probabilidades
Probabilidad
Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados").
El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.
¿Cómo se mide la probabilidad?
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
P(A) = Casos favorables / casos posibles
Veamos algunos ejemplos:
a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:
P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)
b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:
P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)
c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)
d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:
Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados").
El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.
¿Cómo se mide la probabilidad?
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
P(A) = Casos favorables / casos posibles
Veamos algunos ejemplos:
a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto:
P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)
b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:
P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)
c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)
d) Probabilidad de que nos toque el "Gordo" de Navidad: tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡), frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)
Merece la pena ...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías?
Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:
a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero.
b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.
A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.
¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?, ¿ponemos una denuncia?
No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):
Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.
Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.
Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.
Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.
En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.
Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del
Merece la pena ...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías?
Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:
a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero.
b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.
A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.
¿Y si el experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué hacemos?, ¿ponemos una denuncia?
No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la experiencia (modelo frecuentista):
Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.
Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.
Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.
Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.
En este modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito, ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.
Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa (o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento un número elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia, por ejemplo, del 65% y la "cruz" del
35%. Estos valores serían las probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista.
A esta definición de la probabilidad se le denominaprobabilidad a posteriori, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cual es la probabilidad de cada suceso.
LECCION 17ª
Probabilidad de sucesos
Probabilidad de sucesos
Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.
a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).
P(A) = 1/6 = 0,166
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).
b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elemntos comunes.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.
Su probabilidad será por tanto:
A esta definición de la probabilidad se le denominaprobabilidad a posteriori, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número elevado de veces podremos saber cual es la probabilidad de cada suceso.
LECCION 17ª
Probabilidad de sucesos
Probabilidad de sucesos
Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.
a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.
Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).
P(A) = 1/6 = 0,166
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).
b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elemntos comunes.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.
Su probabilidad será por tanto:
P(A B) = 2 / 6 = 0,33
d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
P (A B) = 2 / 6 = 0,33
Por lo tanto,
P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666
e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que restarle nada).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6.
La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
P(A) = 2 / 6 = 0,333
P(B) = 1 / 6 = 0,166
Por lo tanto,
P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50
f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)
Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.
La probabilidad del suceso (A) es igual a :
P(A) = 3 / 6 = 0,50
Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:
P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50
Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":
P(B) = 3 / 6 = 0,50
d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
P (A B) = 2 / 6 = 0,33
Por lo tanto,
P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666
e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que restarle nada).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6.
La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
P(A) = 2 / 6 = 0,333
P(B) = 1 / 6 = 0,166
Por lo tanto,
P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50
f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)
Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.
La probabilidad del suceso (A) es igual a :
P(A) = 3 / 6 = 0,50
Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:
P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50
Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":
P(B) = 3 / 6 = 0,50
g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.
Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto,
P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
Debido a que el proceso de obtener toda la información relevante a una población particular es difícil y en muchos casos imposible de obtener, se utiliza una muestra para estimar la información necesaria para la toma de decisiones.
Muestra (n) → inferencia → Población
_
X = 8 estimado de μ = 7.5
Tomemos por ejemplo una compañía cualquiera. Si la empresa desea introducir un nuevo producto al mercado, sería absurdo pretender que toda la población pruebe el producto. En este caso, se da a probar el producto a una muestra de consumidores y con base a los resultados de esa muestra se decide si el producto se elabora o no.
Ahora bien, como los resultados obtenidos a partir de una muestra difieren de los resultados que se obtendrían si se observara la población total o universo, existe un riesgo al tomar la decisión. Es en este caso que se utiliza la PROBABILIDAD como una medida de riesgo.
Definiciones básicas:
Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.
Espacio Muestral (S). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. El espacio muestral de un experimento siempre existe y no es necesariamente único pues, dependiendo de nuestra valoración de los resultados, podemos construir diferentes espacios muéstrales.
Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 }
Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
P(A) = 3 / 6 = 0,50
P(B) = 3 / 6 = 0,50
Por lo tanto,
P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
Debido a que el proceso de obtener toda la información relevante a una población particular es difícil y en muchos casos imposible de obtener, se utiliza una muestra para estimar la información necesaria para la toma de decisiones.
Muestra (n) → inferencia → Población
_
X = 8 estimado de μ = 7.5
Tomemos por ejemplo una compañía cualquiera. Si la empresa desea introducir un nuevo producto al mercado, sería absurdo pretender que toda la población pruebe el producto. En este caso, se da a probar el producto a una muestra de consumidores y con base a los resultados de esa muestra se decide si el producto se elabora o no.
Ahora bien, como los resultados obtenidos a partir de una muestra difieren de los resultados que se obtendrían si se observara la población total o universo, existe un riesgo al tomar la decisión. Es en este caso que se utiliza la PROBABILIDAD como una medida de riesgo.
Definiciones básicas:
Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.
Espacio Muestral (S). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. El espacio muestral de un experimento siempre existe y no es necesariamente único pues, dependiendo de nuestra valoración de los resultados, podemos construir diferentes espacios muéstrales.
Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 }
Punto muestral: son todos los elementos que contiene el espacio muestral y son los distintos resultados del experimento.
Si consideramos el conjunto de las partes de (P(S)) sus elementos son los sucesos. Un suceso, por tanto, es un subconjunto del espacio muestral.
Existen dos tipos de sucesos:
* Sucesos simples, que son aquellos que comprenden un sólo punto muestral.
* Sucesos compuestos, que son los que engloban más de un punto del espacio muestral. Todo suceso compuesto se puede considerar como unión de puntos del espacio muestral o unión de sucesos simples.
Evento: Es el resultado de un experimento.
Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.
Evento Simple (E). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado
A = { evento que salga un # impar }
A = { 1, 3, 5 }
B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }
Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples.
4.2.2 Unión de dos eventos. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos de A, de B o de ambos.
A ∪ B = C {x / x, A, x, B o x, a ambos}
Intersección de dos conjuntos. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente.
A ∩ B = C {x / x , A y x , B}
Complemento de un evento. El complemento de un conjunto A que se denota por Ac es el evento que consta de todos los resultados en el espacio muestral que no están contenidos en A.
Si consideramos el conjunto de las partes de (P(S)) sus elementos son los sucesos. Un suceso, por tanto, es un subconjunto del espacio muestral.
Existen dos tipos de sucesos:
* Sucesos simples, que son aquellos que comprenden un sólo punto muestral.
* Sucesos compuestos, que son los que engloban más de un punto del espacio muestral. Todo suceso compuesto se puede considerar como unión de puntos del espacio muestral o unión de sucesos simples.
Evento: Es el resultado de un experimento.
Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.
Evento Simple (E). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado
A = { evento que salga un # impar }
A = { 1, 3, 5 }
B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }
Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples.
4.2.2 Unión de dos eventos. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos de A, de B o de ambos.
A ∪ B = C {x / x, A, x, B o x, a ambos}
Intersección de dos conjuntos. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto C que está formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente.
A ∩ B = C {x / x , A y x , B}
Complemento de un evento. El complemento de un conjunto A que se denota por Ac es el evento que consta de todos los resultados en el espacio muestral que no están contenidos en A.
Ac = {x ∈ S x ∉ A}
Ac + A = S
Eventos mutuamente excluyentes: Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en común, su intersección será nula o vacía. En este caso A y B se dicen eventos mutuamente excluyentes.
A ∩ B = {Φ}
Eventos dependientes e independientes:
Eventos dependientes: Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (AB) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que AB no es una fracción.
P (AB) = P(A y B)/P (B) o P (BA) = P(A y B)/P(A)
Eventos independientes: Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P (B/A) = P (B) es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.
4.2.3 ENFOQUES DE PROBABILIDAD
Probabilidad clásica a priori: en la cual la probabilidad de un evento se basa en el conocimiento del proceso involucrado. Desde este enfoque, y cuando existe igual probabilidad para todos los posibles resultados del proceso, la probabilidad de ocurrencia de un resultado o un evento de interés, se define como
N total de resultados posibles/N veces que puede ocurrir el evento de interés
Enfoque de frecuencia relativa: Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número experimentos.
No implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades.
A este enfoque se le denomina también enfoque empírico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces.
Enfoque subjetivo: Se diferencia de lo dos enfoques anteriores, debido a que tanto el
Ac + A = S
Eventos mutuamente excluyentes: Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en común, su intersección será nula o vacía. En este caso A y B se dicen eventos mutuamente excluyentes.
A ∩ B = {Φ}
Eventos dependientes e independientes:
Eventos dependientes: Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (AB) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que AB no es una fracción.
P (AB) = P(A y B)/P (B) o P (BA) = P(A y B)/P(A)
Eventos independientes: Cuando A y B son dos eventos con probabilidades positivas, hemos visto que en general la probabilidad condicional del evento B dado el evento A es diferente de la probabilidad del evento B. Sin embargo, cuando se tiene la igualdad: P (B/A) = P (B) es de especial importancia porque esto quiere decir que el evento B no depende o es independiente del evento A. Es decir, no importa si ocurrió o no el evento A puesto que la ocurrencia o no de A no afecta al evento B.
4.2.3 ENFOQUES DE PROBABILIDAD
Probabilidad clásica a priori: en la cual la probabilidad de un evento se basa en el conocimiento del proceso involucrado. Desde este enfoque, y cuando existe igual probabilidad para todos los posibles resultados del proceso, la probabilidad de ocurrencia de un resultado o un evento de interés, se define como
N total de resultados posibles/N veces que puede ocurrir el evento de interés
Enfoque de frecuencia relativa: Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto número experimentos.
No implica ningún supuesto previo de igualdad de probabilidades.
A este enfoque se le denomina también enfoque empírico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de datos. También se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene después de realizar el experimento un cierto número de veces.
Enfoque subjetivo: Se diferencia de lo dos enfoques anteriores, debido a que tanto el
enfoque clásico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos. El enfoque señala que la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuición, opiniones, creencias personales y otra información indirecta.
Este enfoque no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos y se da el caso de que ocurra o no esa única vez.
Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista.
4.3 TECNICAS DE CONTEO
El análisis de los problemas de probabilidad se facilita a través de métodos sistemáticos de conteo de los grupos y arreglos de los datos.
Factorial de un número: El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial". (Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1)
Por ejemplo, 5! = 5•4•3•2•1 = 120
Principio de la multiplicación: Si un experimento puede describirse como una secuencia de k pasos y en cada paso hay n1 resultados en el primer paso, n2 resultados en el segundo paso, n3 resultados en el tercer paso, y así sucesivamente, entonces el número de eventos que pueden ocurrir será,
(n1) • (n2) • (n3) • (n4) • • • • • • (nk)
Principio de la adición: Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇB =Æ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de (m + n) maneras.
Permutaciones (P). Cada arreglo de datos donde el orden es importante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo.
n = # de datos r = grupo tomado de n (r < n)
combinaciones: Número de formas diferentes que se pueden seleccionar n objetos de un total de N objetos distintos sin importar el orden ( juego de póker, ej.)
NCn = N! / n! ( N – n ) !
4.4 PROBABILIDAD
La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
Probabilidad simple: Analiza la probabilidad de que ocurra un suceso A en un espacio
Este enfoque no depende de la repetitividad de ningún evento y permite calcular la probabilidad de sucesos únicos y se da el caso de que ocurra o no esa única vez.
Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina también enfoque personalista.
4.3 TECNICAS DE CONTEO
El análisis de los problemas de probabilidad se facilita a través de métodos sistemáticos de conteo de los grupos y arreglos de los datos.
Factorial de un número: El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial". (Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1)
Por ejemplo, 5! = 5•4•3•2•1 = 120
Principio de la multiplicación: Si un experimento puede describirse como una secuencia de k pasos y en cada paso hay n1 resultados en el primer paso, n2 resultados en el segundo paso, n3 resultados en el tercer paso, y así sucesivamente, entonces el número de eventos que pueden ocurrir será,
(n1) • (n2) • (n3) • (n4) • • • • • • (nk)
Principio de la adición: Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇB =Æ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de (m + n) maneras.
Permutaciones (P). Cada arreglo de datos donde el orden es importante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo.
n = # de datos r = grupo tomado de n (r < n)
combinaciones: Número de formas diferentes que se pueden seleccionar n objetos de un total de N objetos distintos sin importar el orden ( juego de póker, ej.)
NCn = N! / n! ( N – n ) !
4.4 PROBABILIDAD
La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
Probabilidad simple: Analiza la probabilidad de que ocurra un suceso A en un espacio
muestral E. Si la naturaleza del experimento permite considerar a cada uno de los resultados como “igualmente probables” diremos que: La probabilidad simple de un suceso es el cociente del número de casos favorables por el número de casos posibles.
Esta fórmula sólo es aplicable si el espacio muestral es finito y si todos los sucesos elementales son igualmente probables.
Un indicador de que todos los sucesos elementales del espacio muestral considerado son igualmente probables es la frase “al azar
Esta fórmula sólo es aplicable si el espacio muestral es finito y si todos los sucesos elementales son igualmente probables.
Un indicador de que todos los sucesos elementales del espacio muestral considerado son igualmente probables es la frase “al azar
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